高中高三数学教案设计：排列。
老师每一堂课都需要一份完整教学课件，每个老师都需要仔细规划教案课件。教案课件写好了，老师教学质量肯定也差不了。从哪些角度去准备自己的教案课件呢？相信你应该喜欢小编整理的高中高三数学教案设计：排列，如果合你所需，不妨马上收藏本页。
排列
教学目标
（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；
（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；
（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析
本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题．难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中．
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同．排列数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数．排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数．
公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好 的推导．
排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．
在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．
在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．
三、教法建议
①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念．一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数．
②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．
从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．
在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
在排列的定义中 ，如果 有的书上叫选排列，如果 ，此时叫全排列．
要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题．
③关于排列数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，…，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．
导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．
公式 是在引出全排列数公式 后，将排列数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．
④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．
⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．
教学设计示例
排列
教学目标
（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；
（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
（3）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
教学重点难点
重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。
难点是解有关排列的应用题。
教学过程设计
一、 复习引入
上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：
1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．
（1）从中任取1本，有多少种取法？
（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？
2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？
找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程
第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是： 50×40=2000．
第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．
二、 讲授新课
学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习排列问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：
1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？
由学生设计好方案并回答．
（1）用加法原理设计方案．
首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．
（2）用乘法原理设计方案．
首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．
根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票
再看一个实例．
在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？
找学生谈自己对这个问题的想法．
事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．
首先，先确定位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；
其次，确定中间位置的旗子，当位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．
根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．
根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）
第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．
由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．
根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．
请板演的学生谈谈怎样想的？
第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．
第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．
第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．
根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．
下面由教师提问，学生回答下列问题
（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？
都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．
（2）取出的这些研究对象又做些什么？
实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．
（3）请大家看书，第×页、第×行． 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．
上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．
第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．
第三个问题呢？
从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．
给出排列定义
请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
下面由教师提问，学生回答下列问题
（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列？什么是不同的排列？
从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列．
如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列．
再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．
（2）还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数？
生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．
三、 课堂练习
大家思考，下面的排列问题怎样解？
有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）
分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．
解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．
第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．
第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．
第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：
所以，共有9种放法．
四、作业
课本：p232练习1，2，3，4，5，6，7．
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高中高三数学教案：组合
一般地，从m个不同的元素中，任取n(n≤m)个元素为一组，叫作从m个不同元素中取出n个元素的一个组合。精品小编准备了高三数学教案，具体请看以下内容。
教学设计示例
教学目标
(1)使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题;
(2)使学生掌握组合数的计算公式;
(3)通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力;
教学重点难点
重点是组合的定义、组合数及组合数的公式;
难点是解组合的应用题.
教学过程设计
(-)导入新课
(教师活动)提出下列思考问题，打出字幕.
[字幕]一条铁路线上有6个火车站，(1)需准备多少种不同的普通客车票?(2)有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中，哪一问是排列问题?哪一问是组合问题?
(学生活动)讨论并回答.
答案提示：(1)排列;(2)组合.
[评述]问题(1)是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题;(2)是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题.这节课着重研究组合问题.
设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.
(二)新课讲授
[提出问题 创设情境]
(教师活动)指导学生带着问题阅读课文.
[字幕]1.排列的定义是什么?
2.举例说明一个组合是什么?
3.一个组合与一个排列有何区别?
(学生活动)阅读回答.
(教师活动)对照课文，逐一评析.
设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境.
【归纳概括 建立新知】
(教师活动)承接上述问题的回答，展示下面知识.
[字幕]模型：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合.
组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，称之，用符号 表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .
[评述]区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题;若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题.
(学生活动)倾听、思索、记录.
(教师活动)提出思考问题.
[投影] 与 的关系如何?
(师生活动)共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可分为以下两步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为 ;
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数为 .根据分步计数原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
(学生活动)验算 ，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票.
设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去.
【例题示范 探求方法】
(教师活动)打出字幕，给出示范，指导训练.
[字幕]例1 列举从4个元素 中任取2个元素的所有组合.
例2 计算：(1) ;(2) .
(学生活动)板演、示范.
(教师活动)讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题.
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.
(学生活动)思考分析.
解 首先，根据组合的定义，有
①
其次，由原不等式转化为
即
解得 ②
综合①、②，得 ，即
[点评]这是组合数公式的应用，关键是公式的选择.
设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力.
【反馈练习 学会应用】
(教师活动)给出练习，学生解答，教师点评.
[课堂练习]课本p99练习第2，5，6题.
[补充练习]
[字幕]1.计算：
2.已知 ，求 .
(学生活动)板演、解答.
设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用.
(三)小结
(师生活动)共同小结.
本节主要内容有
1.组合概念.
2.组合数计算的两个公式.
(四)布置作业
1.课本作业：习题10 3第1(1)、(4)，3题.
2.思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人?
3.研究性题：
在 的 边上除顶点 外有 5个点，在 边上有 4个点，由这些点(包括 )能组成多少个四边形?能组成多少个三角形?
(五)课后点评
在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.
高中高三数学教案范文：组合
组合
教学目标
（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；
（2）使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系；
（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
（4）通过对排列、组合问题求解与剖析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析
本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式，组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。
组合与组合数，也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合（无序集），相当于一个组合，而这种集合的个数，就是相应的组合数。
解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）．
三、教法设计
1．对于基础较好的学生，建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系．
2．学生与老师可以合编一些排列组合问题，如“45人中选出5人当班干部有多少种选法？”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？”这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是组合问题．这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念．
为了理解排列与组合的概念，建议大家学会画排列与组合的树图．如，从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为：
排列树图
由排列树图得到，从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个，它们分别是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.
组合树图
由组合树图可得，从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个，它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).
从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，组合图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而组合只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样组合就有了自己的树图．
学会画组合树图，不仅有利于理解排列与组合的概念，还有助于推导组合数的计算公式．
3．排列组合的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题，最后在设及排列与组合的综合问题．
对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播．对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高．
4．两个性质定理教学时，对定理1，可以用下例来说明：从4个不同的元素a，b，c，d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是
这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的．
对定理2，可启发学生从下面问题的讨论得出．从n个不同元素 ， ，…， 里每次取出m个不同的元素（ ），问：（1）可以组成多少个组合；（2）在这些组合里，有多少个是不含有 的；（3）在这些组合里，有多少个是含有 的；（4）从上面的结果，可以得出一个怎样的公式．在此基础上引出定理2．
对于 ，和 一样，是一种规定．而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚．
教学设计示例
教学目标
（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；
（2）使学生掌握组合数的计算公式；
（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
教学重点难点
重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；
难点是解组合的应用题．
教学过程设计
（－）导入新课
（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．
［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？
（学生活动）讨论并回答．
答案提示：（1）排列；（2）组合．
［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．
设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．
（二）新课讲授
［提出问题 创设情境］
（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．
［字幕］1．排列的定义是什么？
2．举例说明一个组合是什么？
3．一个组合与一个排列有何区别？
（学生活动）阅读回答．
（教师活动）对照课文，逐一评析．
设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．
【归纳概括 建立新知】
（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．
［字幕］模型：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合．如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合．
组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，称之，用符号 表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .
［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．
（学生活动）倾听、思索、记录．
（教师活动）提出思考问题．
［投影］ 与 的关系如何？
（师生活动）共同探讨．求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可分为以下两步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为 ；
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数为 ．
根据分步计数原理，得到
［字幕］公式1：
公式2：
（学生活动）验算 ，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票．
设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．
【例题示范 探求方法】
（教师活动）打出字幕，给出示范，指导训练．
［字幕］例1 列举从4个元素 中任取2个元素的所有组合．
例2 计算：（1） ；（2） ．
（学生活动）板演、示范.
（教师活动）讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题．
［字幕］例3 已知 ，求 的所有值.
（学生活动）思考分析．
解 首先，根据组合的定义，有
①
其次，由原不等式转化为
即
解得 ②
综合①、②，得 ，即
［点评］这是组合数公式的应用，关键是公式的选择．
设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力．
【反馈练习 学会应用】
（教师活动）给出练习，学生解答，教师点评．
［课堂练习］课本p99练习第2，5，6题．
［补充练习］
［字幕］1．计算：
2．已知 ，求 .
（学生活动）板演、解答．
设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用．
【点评矫正 交流提高】
（教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结．
补充练习答案：
1．解：原式：
2．解：由题设得
整理化简得 ，
解之，得 或 （因 ，舍去），
所以 ，所求
［字幕］小结：
1．前一个公式主要用于计算具体的组合数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证．
2．在解含组合数的方程或不等式时，一定要注意组合数的上、下标的限制条件．
（学生活动）交流讨论，总结记录．
设计意图：由“实践——认识——一实践”的认识论，教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节，使教学目标得以强化和落实．
（三）小结
（师生活动）共同小结．
本节主要内容有
1．组合概念．
2．组合数计算的两个公式．
（四）布置作业
1．课本作业：习题10 3第1（1）、（4），3题．
2．思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？
3．研究性题：
在 的 边上除顶点 外有 5个点，在 边上有 4个点，由这些点（包括 ）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？
（五）课后点评
在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．
作业参考答案
2．解；设有男同学 人，则有女同学 人，依题意有 ，由此解得 或 或2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人．
3．能组成 （注意不能用 点为顶点）个四边形， 个三角形．
探究活动
同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？
解 设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．
解法一 可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：
甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．
甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．
甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．
由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种．
解法二 可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．
正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有 种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有 种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有 （种）．
逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为 1．故符合题设要求的取法共有 （种）．
说明（1）对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列组合问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法．
（2）设集合 ，如果S中元素的一个排列 满足 ，则称该排列为S的一个错位排列．本例就属错位排列问题．如将S的所有错位排列数记为 ，则 有如下三个计算公式（李宇襄编著《组合数学》，北京师范大学出版社出版）：
①
②
③
高中高三英语Learning a foreign language教案设计
一、教学说明 (Teaching Remarks):
本堂课把读前(pre-reading)和阅读(reading)结合在一起。pre-reading使学生熟悉话题,预测阅读内容,激发阅读兴趣和欲望。Reading是一篇说明文,是对“外语学习究竟难不难”提出看法并说明理由,设法使读者信服,达到启发思维、提高认识、增长知识的目的。
教学设计充分利用了多媒体电脑的优势,把搜集到的相关知识和课文中的内容相结合,择机设计一些活动,帮助学生化难为易,提高自信心,明确阅读的重点,达到启迪心智、增强理解能力的目的。
二、教学目标(Teaching Aims):
知识目标:通过阅读 Reading这篇文章,学习文中的一些有用的词语和句型扩大学生的词汇量,提高语言运用能力。
能力目标:1. 采用不同的阅读方法理解课文,提高学生的阅读能力。
2. 学习文中成功的语言学习者的优秀品质,并鼓励学生将其运用到实践当中,以便提高自己的英语学习能力。
德育目标: 教导学生:好的学习方法固然重要,但勤勉更重要。“no pains, no gains.”
三、教学重点(Teaching Key points):
1.采用不同的阅读技巧,让学生了解文章大意,并归纳每段文章的中心意思(main idea)和文章的主旨(purpose of the text)。
2.掌握文中的重点词汇、短语和句型。
四、教学难点(Teaching Difficult points):
把文中所学到的有用的外语学习者的经验运用到学生的英语学习上,以便于提高他们的英语水平。
五、教学方法(Teaching Methods):
1. Ask and answer 和 pictures 相结合,导入课文。
2. Fast reading 归纳每段文章的中心意思(main idea)和文章的主旨(purpose of the text), 提高学生的阅读能力。
3. Careful reading 回答问题,了解文章细节内容。
4. Group work 讨论成功语言学习者的经验和特点。
5. Explaining and learning 掌握文中重点词汇、句型。
六、教学辅助(Teaching Aids):
Multi-media Computer,tape
七、媒体的设计:
首先利用课文标题 “Learning a Foreign Language: Twice as Hard?” 问学生 “How do you think of this question?” 让学生讨论导入。然后利用图片与pre-reading部分的问题相结合的方式,展开讨论与问答,启发学生思考,引起联想,使学生对语言学习这个问题产生更浓的兴趣,以
促使他们学习方式的优化,提高其自主学习的能力。由于pre-reading部分内容都在 “Reading”部分要进一步阐明,这就让学生先行考虑, 做好了准备,使他们提高阅读的自主性。
图片与问题设计如下:
Question1. How do we learn our mother tongue? 配以 “中国孩子认汉字、学古诗”和“外国孩子学母语,”的图片,学生根据图片和自身的经历便可轻而易举地回答此问题。
Question2. What are the difficulties we must face in learning English?
Question3. How is learning a foreign language different from learning our mother tongue? 配以孩子们围绕着电视看卡通米老鼠学英语的图片。让学生感受到我们从小是如何学英语的以及学英语和学母语 的区别。
Question4. What are the characteristics of successful language learners?
Question5. How can we develop our confidence?
Question6. What can we do to learn better and faster?
配以李阳疯狂学英语和全国中学生英语口语大赛图片,学生从问题和图片中就可以体会到成功语言学习者的优秀品质,降低了回答以上问题的难度。
有了以上的准备工作,让学生进入Reading 快读。首句阅读并skim the whole text,找出每段的大意,呈现于屏幕上,检查学生阅读的效果,把握学生对文章的总体理解程度。
第三步进入课文精读。此部分内容的设计目的是使学生读懂文中的细节,从而找出文中的难点。问题按文中段落依次设计如下:
Question1. How do we acquire our mother tongue? (paragraph1)
Question2. How do different people explain our ability to learn our mother tongue? ( paragraph2)
Question3. At what age have most children mastered their mother tongue? (paragraph2)
Question4. How is learning a foreign language different from learning one’s mother tongue? (paragraph3)
Question5. In the writer’s opinion, which is faster learning mother tongue and learning foreign language? (paragraph3)
Question6. Why are some people better at learning foreign language than others? (paragraph4)
Question7. Why are successful language students able to gain confidence and to relax and enjoy learning? (paragraph5)
Question8. In which areas are
the successful language learners better? (paragraph5)
Question9. How can the learners make their language acquisition better? (paragraph5)
Question10. How can we become successful language learners? (paragraph 6)
重点词语讲解,排忧解难。把文中出现的重点词语呈现于屏幕上,进行讲解,使学生达到熟知会用。
为了进一步为学生的交际创设情景,让学生用自己的话把文中成功语言学习者的经验做一归纳,于屏幕上显示出来,以便加深学生对这些特点的印象,从而加以利用。
反馈检测练习的设计重在检测学生对文中重点词汇的掌握,因此以短文填空的形式出现。
八.教案
Teaching plan
(pre-reading and Reading Unit 8 Senior 3)
Ⅰ.Teaching Aims
1.Improve the Ss’ reading ability.
2.Develop the Ss’learning language ability.
3、Learn some useful expressions and sentences
4、“No pains,no gains.” Diligence is the key to success.
Ⅱ.Teaching Key points
1. Improve the Ss’ reading ability. Sum up the main idea of each paragraph and the purpose of the text.
2.Learn some useful expressions and sentences
Ⅲ. Teaching Difficult points
1. How do the students use the characteristics of the successful learners to improve their English study?
Ⅳ. Teaching Methods
1. Ask and answer
2. Fast and careful reading
3. Group work
4. Explaining and learning
Ⅴ. Teaching Aids
Multi-media Computer, tape
Ⅵ. Teaching procedures
Step1. Greeting.
The teacher and the students greet
each other.
Step2. Lead-in.
Step3. Fast-reading to find out the main idea of each paragraph and the purpose of the author.
Step4. Careful reading to answer some questions.
Step5. Explain and memorise the useful expressions and sentences.
Step6. Listen to the tape and then read the text aloud. pay attention to the pronunciation and intonation.
Step7. Test
Step8. Summary
1. the characteristics of the good language learners.
2.the useful expressions and sentences
Step8. The design of the writing on the blackboard
-Useful expressions:
1.communicate with sb./sth.
2.make sense of
3.be equipped with
4.adjust oneself to sth. / adapt to sth.
5.regardless of
6.take chances / a chance
7.take risks / a risk
8.experiment with sth.
9.contribute to sth ./ doing sth.
Sentence:
Not all of us want to be translators or interpreters.(原文)
部分否定句的构成:not all / both / every---- =all / both / every----not----
eg. All the answers are not right. = Not all the answers are right.
Both of the books are not useful. = Not both of the books are useful.
Not every student wants to take part in the game. = Every student doesn’t want to take part in the game.
Step9. Extra work
Retell the text according to the main idea of each paragraph.
Step10. Record after teaching
高中高三语文《宇宙的未来》教案设计
【自读导言】
自读要求
1.能读懂本演讲录的内容。2.学习本文生动、幽默的演讲风格。
3.感受科学精神，增进科学素养。
(解说：本文虽说是演讲录，但其实就是一篇科技论文，加上语言的欧化风格，要读懂全文并不容易，所以设置了第一个要求；生动、幽默是霍金的演讲风格，是其演讲独具魅力的原因之一，因此设置了第二个要求；本文是传播科学知识的演讲录，需要让学生从中感受到科学精神，增进科学素养，因此设置了第三个要求。)
自读重难点
1.提炼本文的要点，增强概括能力。
2.探究本文的内涵，增强分析能力。
(解说：这两点按本单元的学习重点设计，顺应编辑的教材编排意图。)
【自读程序】
总的原则是：多次自读，逐层领悟，逐个落实学习重点。具体如下：
1.初读，总体感知。
结合注释，通读全文，总体感知。
读后能用一句话简要地说出本文讲了什么。
明确：本文讲的是宇宙的未来问题，预测了两种结局：或膨胀，或收缩。
2.再读，提炼要点。
要求比上一次读得细一些，边读边给课文分段，明确作者讲了几层意思，并提炼出要点。提炼要点的方法是：或者摘录文中的语句，或者用自己的语言组织。
明确：
要点依次为：①科学家有信心预言未来。②巫师的预言模棱两可，宗教的预言屡测屡败。③物理方程、制约大脑的方程具有混沌性，因此我们不能预言人类；而宇宙的行为在非常大尺度下却是简单的，而不是混沌的，因此我们可以预言宇宙遥远的未来。④宇宙的未来有两种可能，一是继续膨胀下去，二是收缩以至坍缩成一个点。是膨胀还是坍缩，取决于宇宙的平均密度。⑤宇宙现在的密度非常接近于把坍缩和膨胀区分开来的临界点上，所以两种可能都会发生。
3.三读，探究内涵。
要求比上一次读得更深入，能对某些语句的内涵进行分析，也能对作者的某个观点进行评析，或者对作者的整个科学思想进行阐述分析。
4.交流讨论。
交流讨论可以在前三步之后综合进行，也可以在每一步(初读、再读、三读)之后分别进行。对总体感知的情况、提炼要点的情况、探究内涵的情况依次进行交流讨论。可以先在小组(前后桌为一组)内进行，然后每个小组选一人参与全班交流。
(解说：本自读程序力图体现学生的自读、自得、互动。让学生自主发展，自我提高。)
【自读点拨】
本文是史蒂芬·霍金1991年1月在剑桥大学的一次演讲录。
这篇演讲，从古代巫师的预言，谈到近代宗教的预言，然后过渡到自己对宇宙未来的预言，结构严谨，重点突出。作者运用天体物理学理论，对宇宙未来作出了两种预测，一是继续膨胀下去；二是收缩以至坍缩成一个点。是膨胀还是收缩，取决于宇宙的平均密度。“如果它比临界值小，宇宙就将永远膨胀。但是如果它比临界值大，宇宙就会坍缩，而时间就会在大挤压处终结。”可“现在密度似乎非常接近于把坍缩和无限膨胀区分开来的临界密度”，所以两种结果都有可能。
本文专业性强，欧化语言明显，阅读起来非常吃力，难读、难懂。高考试卷上的科技说明文、科技论文只有三四段，考生读起来已经非常吃力，而这里却有整整26段，是前者的六七倍。所以教学本文时一方面要让学生充分阅读，自主探究，但同时也要积极发挥教师的引导作用，将学生由浅入深地引导下去。
在引导过程中，可以将以下问题灵活地插入上面的“自读程序”中。(特别是发现学生在“探究内涵”不够深入时。)
1.作者在第8段中为什么说“即使知道了制约宇宙的有关定律，我们仍然不能利用它们去预言遥远的未来”?为什么第10段又说“尽管我们知道制约人类行为的方程，但在实际上我们不能预言它”?
明确：“因为物理方程的解会呈现出一种称作混沌的性质”，“方程可能是不稳定的”；同样，“制约大脑的方程几乎肯定具有混沌行为，初始态的非常小的改变会导致非常不同的结果”。
2.为什么科学“不能预言人类社会的未来”，却“可以预言宇宙遥远的未来”?
明确：因为前者是混沌的，不确定的；而“宇宙的行为在非常大尺度下是简单的，而不是混沌的，因此我们可以预言宇宙遥远的未来”。
3.作者对宇宙的未来的预言与巫师、宗教预言家对人类社会未来的预言有何不同?
明确：前者是有科学根据的，是运用天体物理学理论进行的科学推测，科学预言；而后者是没有科学根据可言的。——其实，从上面的题目就可知道，人类社会的未来根本就是无法预言的，因为方程是混沌的，所以巫师、宗教预言家对人类社会的预言注定就是荒唐的。
4.对宇宙未来的预言，关键是要弄清宇宙的什么问题?
明确：“对宇宙未来的预言，其关键问题在于：平均密度是多少。”
5.作者认为宇宙的未来会是怎样的?
明确：会有两种可能：“如果它比临界值小，宇宙就将永远膨胀，但是如果它比临界值大，宇宙就会坍缩。”
(解说：设计这些题目旨在让教师引导学生探究文章的内涵，由表及里，将自读引向深入、准确。)
【自读思考】
1.根据作者的论述，我们目前所能看到的宇宙物质最多是“临界值”的百分之一，似乎不足以使宇宙坍缩。然而作者又指出，“也许存在足够的暗物质，使宇宙最终坍缩”。宇宙中存在暗物质的证据是什么?作者又举了哪两种假说，说明现在的宇宙密度可能就在临界状态?
明确：宇宙中存在暗物质“一个证据来自于螺旋星系”，“必须存在某种看不见的物质形式，其引力吸引足以把这些旋转的星系牢牢抓住”；“另一个证据来自于星系团”，“要不是引力吸引把星系抓到一起，这些星系团就会飞散开去……所以，在星系团中我们观测到的星系以外必须存在额外的暗物质”。
作者为了说明现在的宇宙密度可能就在临界状态，列举了两种假说，“一种是所谓的人择原理”，另一种是“极早期宇宙的暴涨理论”。
(解说：此题旨在引导学生探究文章的内涵。同样是探究文章的内涵，上面五个问题是宏观的，环环相扣，步步深入，这一个则是微观、细碎的，所以单独列在“自读思考”中。)
2.本文在论述过程中，常常用一些生动的比喻来说明事理。下列两个比喻句各自说明了什么道理?
①“例如，如果你稍微改变一下你旋转轮赌盘的方式，就会改变出来的数字。你在实际上不可能预言出来的数字，否则的话，物理学家就会在赌场发财。”
明确：用这个比喻生动地说明了“即使我们知道了制约宇宙的有关定律，我们仍然不能利用它们去预言遥远的未来”。
②“这有一点像是再投胎。如果有人声称一个新生的婴儿是和某一死者等同，如果该婴儿没从他的以前的生命遗传到任何特征或记忆，这种声称有什么意义呢?人们可以同样地讲，它是完全不同的生命。”
明确：用这个比喻形象地说明宇宙在大挤压处终结后，并不是任何发生在“之后”的事件都是另一个相分离的宇宙的部分。
(解说：此题旨在引导学生领会、学习作者善于用比喻来说理的技巧。)
3.这篇文章语言幽默风趣，在说明科学道理的同时，创造出一种轻松愉快的气氛，体现了演讲词的特点。试举出三个例子，分析其表达效果。
明确：
例如：①“……这些日期使股票市场下泻。虽然它使我百思不解，为何世界的终结会使人愿意用股票来换钱，假定你在世界末日什么也带不走的话。”这句话让人在笑声中悟到人类自身的某些缺陷和某些思维误区。②“据说，1844年是第二次回归的开始，但是首先要数出获救者名单。只有数完了名单，审判日才降临到那些不列在名单上的人。幸运的是，数人名看来要花很长的时间。”这句话幽默中含着揶揄和讽刺，揭露了宗教预言师的荒谬，表现了对方屡测屡败却又想方设法自圆其说的尴尬与可笑。③“如果暴涨理论是正确的，则宇宙实际上是处在刀锋上。所以我正是继承那些巫师或预言者的良好传统，两方下赌注，以保万无一失。”听众明知作者做的是科学的预言，和巫师他们完全不同，可作者却有意将自己降为他们的同类，一是说明自己恰好也有两种预测，二是顺势又对他们进行嘲讽。这种智慧的表达既带来了轻松愉悦的气氛，又大大增加了自己与听众的亲和力。
(解说：此题旨在引导学生领会并学习作者幽默风趣的演讲风格。)
4.下面这段话引自霍金2002年8月15日在浙江大学的公众演讲《膜的新奇世界》，读后请用其中的原句提炼本段的要点，并同课文做比较阅读，说说霍金在介绍深奥理论时喜欢采用什么方式来让听众听明白?
“按照我的意见，膜世界启始的更远为吸引人的解释是，它作为真空中的起伏而自发产生。膜的产生有点像沸腾水中蒸气泡的形成。水液体中包含亿万个H2O分子，它们在最靠近的邻居之间耦合，并且挤在一起。当水被加热上去，分子运动得更加快，并且相互弹开。这些碰撞偶然赋予分子如此高的速度，使得它们中的一群能摆脱它们的键，形成热水围绕着的蒸气小泡泡。泡泡将以随机的方式长大或缩小，这时液体中来的更多的分子参与到蒸气中去，或者相反的过程。大多数小蒸气泡将会重新塌缩成液体，但是有一些会长大到一定的临界尺度，超过该尺度泡泡几乎肯定会继续成长。我们在沸腾时观察到的正是这些巨大的膨胀的泡泡。”
明确：这是迁移运用题。体现本段要点的句子是“膜的产生有点像沸腾水中蒸气泡的形成。”作者喜欢用比喻的方式将深奥的理论说得通俗易懂。
5.课文中霍金对宇宙未来的预言，你怎么看?老师鼓励学生发表有创见的观点，只要态度科学，能自圆其说即可。
(解说：设计该题旨在引导学生独立思考，培养独立的人格，同时也培养独立的科学精神。学生可以畅所欲言，比如认为霍金的观点只是一家之言，只是一种推测，无法得到证实，他和爱因斯坦的相对论一样，虽然都很伟大，但都只是一种理论，一种思想，缺少科学的实证，因此也都没能获得需要实证的诺贝尔奖。其他科学家站在另外的角度来思考来假设，或许会有不同的结论，不同的发现。所以青少年对霍金的观点可以学习，可以接受，但不能迷信，不能束缚自己的思维。)
6.霍金的中国学生吴忠超教授这样介绍史蒂芬·霍金：在相对论和引力论领域，霍金是继爱因斯坦之后最伟大的代表人物。他的第一项工作是和彭罗斯一起证明了广义相对论的奇性定理；第二项工作是创立了黑洞物理理论，其中有黑洞的无毛定理和黑洞视界面积增加定理；第三项工作是研究极早期宇宙和宇宙的创生，其量子宇宙学使人们单独地从科学定律即能预言出宇宙中的一切。而他所有这些成就都是在他患卢伽雷病(肌肉萎缩性侧面硬化病)后的40年间所做的。在科学有许多残疾科学家，但是像霍金这样残疾到这种程度的则——21岁就患病，几十年被禁锢在特制的轮椅上，全身只有三个手指能活动，不能讲话，与人交谈要靠计算机合成语言，有了新的想法也只能通过三个手指“敲击”进语言合成器里保存……可就是这样一个重度残疾的人，却把研究的目标直指浩瀚的宇宙。
在《果壳中的宇宙》一书中，霍金引用了莎士比亚戏剧《哈姆雷特》里一句充满诗意的台词：“我即使被关在果壳里，仍自以为是无限空间!”这句台词形象地道出了霍金的崇高精神追求，使人们亲眼看到了“果壳”中的那个挑战命运的不屈的灵魂。他曾说：“只要有智慧和精神在，没有什么能*自己。身体的健康固然重要，心灵的健康也会给你无穷的力量。”在少年霍金的心中，崇拜的不是歌星或球星，而是贝特朗·罗素，一位不知疲倦的思想家、哲学家和科学家。
那么你呢?你怎么看待霍金?十年前，一家青少年调查机构调查出我国中学生最崇拜的人物是歌星刘德华、影星刘晓庆、球星贝利，“三星高照”。你又怎样看待这一现象?
(解说：科学和人文是教育的两大内容，学习本文可以增进学生的科学素养，因此设计了上题；而从作者霍金的身上，还能感受到高尚的人格魅力，因而设计了本题。霍金的朋友曾这样感慨：“可以相信，当他所热爱的东西都失去时，他不仅坚强地活着，而且伟大地活着，那么他所带给我们的不仅仅是科学的智慧，还有人类最可贵的精神。”教师可介绍霍金的生平，介绍霍金2002年8月来华刮起的“霍金旋风”，让学生产生积极的情感体验，学习霍金战胜自我、挑战极限、追求科学的顽强品质。对于“三星高照”的现象，能够引发学生的深入思考，并作出较为正确的评价，比如这样评价：这一现象的出现，既有中学生自身价值取向的问题，也有新闻媒体的误导问题。要让学生意识到，只有在正确的价值取向引导下，个人才能体现出的人生价值，社会才能快速向前发展。)
【课外作业 】
1.仿照本文幽默风趣的语言风格，写一个演讲片段，题目是《霍金·明星·我》。
2.阅读霍金的名著《时间简史》、《果壳中的宇宙》(2002年8月霍金在浙江大学的公众演讲《膜的新奇世界》就选自其中)。
(解说：两个题目，一读一写，由课文深化、拓展开去。教师给定一个完成的时间，然后在全班交流，将学习气氛推向高潮。)
高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理
排列、组合、二项式定理-基本原理
教学目标
（1）正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；
（2）能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；
（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关；
（4）能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题，提高学生理解和运用两个原理的能力；
（5）通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析
本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。
加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。
两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是， 做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。
三、教法建议
关于两个计数原理的教学要分三个层次：
第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．
第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：
①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；
②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；
③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；
④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；
⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等．
第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．
教学设计示例
加法原理和乘法原理
教学目标
正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：加法原理和乘法原理．
难点：加法原理和乘法原理的准确应用．
教学用具
投影仪．
教学过程设计
（一）引入新课
从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．
今天我们先学习两个基本原理．
（二）讲授新课
1．介绍两个基本原理
先考虑下面的问题：
问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．
这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：
加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．
请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：
问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．
一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
2．浅释两个基本原理
两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．
比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？
两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．
看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：
题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．
1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．
题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？
第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．
题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．
从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．
（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）
进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．
也就是说：类类互斥，步步独立．
（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）
（三）应用举例
现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．
例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）
（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是
N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．
（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．
（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．
例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．
答：可以组成100个三位整数．
教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.
（四）归纳小结
归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：
分类时用加法原理，分步时用乘法原理．
应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．
（五）课堂练习
p222：练习1～4．
（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）
（六）布置作业
p222：练习5，6，7．
补充题：
1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？
（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）
2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．
（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）
3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？
（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）
4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？
（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．
（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）
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