高中数学教案：对数与对数运算。
做好教案课件是老师上好课的前提，每天老师都需要写自己的教案课件。只要提前准备好教案课件工作，这样才能避免实际教学中应对不足的情况。那写教案课件要具备哪些步骤？小编为此仔细地整理了以下内容《高中数学教案：对数与对数运算》，希望能为你提供更多的参考。
教学目标：
1.理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质.
2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程.
3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题.
4.对数的初步应用.
教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则
教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导
教学方法：学导式
教学过程设计
第一课时
师：(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%，求20年后国民生产总值是原来的多少倍?
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=(1+7.2%)20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍.
师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题.也就是上面学习的指数问题.
师：(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍?
师：(分析)仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程得:1.072x=4.
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题.
师：(板书)一般地，如果a(a>0，a≠1)的x次幂等于N，就是 ，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式.
对数这个定义的认识及相关例子:
(1)对数式logaN实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法.
(2)对数是一种新的运算.是知道底和幂值求指数的运算.实际上这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”.知道a，x可求N，即前面学过的指数运算;知道x(为自然数时)、N可求a，即初中学过的开根号运算，记作 ;知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作logaN= x.因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算.而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法.
师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数.
师：(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN;底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28…….
师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格.
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高中数学指数与指数幂的运算教案
2.1.1 指数与指数幂的运算
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDp的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．
2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．
3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．
4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．
重点难点
教学重点
(1)分数指数幂和根式概念的理解．
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．
(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值．
教学难点
(1)分数指数幂及根式概念的理解．
(2)有理指数幂性质的灵活应用．
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
作者：路致芳
导入新课
思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．
思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？
(4)可否用一个式子表达呢？
活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．
讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.
(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．
(4)用一个式子表达是，若xn＝a，则x叫a的n次方根．
教师板书n次方根的意义：
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1且n∈N*.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．
提出问题
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质 的数，有什么特点？
(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的 特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所 以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.
(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．
(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.
(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．
类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：
①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．
②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．
上面的文字语言可用下面的式子表示：
a为正数：n为奇数， a的n次方根有一个为na，n为偶数， a的n次方根有两个为±na.
a为负数：n为奇数， a的n次方根只有一个为na，n为偶数， a的n次方根不存在.
零的n次方根为零，记为n0＝0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例．
思考
根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式．
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数．
如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．
思考
nan表示an的n次方根，式子nan＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理．
〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕．
解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n＝a.
通过探究得到：n为奇数，nan＝a.
n为偶数，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a<0.
因此我们得到n次方根的运算性质：
①(na)n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．
②n为奇数，nan＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．
n为偶数，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．
应用示例
思路1
例 求下列各式的值：
(1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a－b)2(a＞b)．
活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．
解：(1)3(－8)3＝－8；
(2)(－10)2＝10；
(3)4(3－π)4＝π－3；
(4)(a－b)2＝a－b(a＞b)．
点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响 ，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．
变式训练
求出下列各式的值：
(1)7(－2)7；
(2)3(3a－3)3(a≤1)；
(3)4(3a－3)4.
解：(1)7(－2)7＝－2，
(2)3(3a－3)3(a≤1)＝3a－3，
(3)4(3a－3)4＝
点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.
思路2
例1 下列各式中正确的是()
A．4a4＝a
B．6(－2)2＝3－2
C．a0＝1
D．10(2－1)5＝2－1
活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．
解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan＝|a|，故A项错．
(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．
(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．
(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D.
答案：D
点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．
例2 3＋22＋3－22＝__________.
活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．
解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，
3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，
所以3＋22＋3－22＝22.
答案：22
点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．
思考
上面的例2还有别的解法吗？
活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．
另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，
两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝22.
点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．
变式训练
若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．
解：因为a2－2a＋1＝a－1，而a2－2a＋1＝(a－1)2＝|a－1|＝a－1，
即a－1≥0，
所以a≥1.
点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.
知能训练
(教师用多媒体显示在屏幕上)
1．以下说法正确的是()
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．0的n次方根是零
D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)
答案：C
2．化简下列各式：
(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x8；(4)6x6y3；(5)(x－y)2.
答案：(1)2；(2)3；(3)x2；(4)|x|y；(5)|x－y|.
3．计算7＋40＋7－40＝__________.
解析：7＋40＋7－40
＝(5)2＋252＋(2)2＋(5)2－252＋(2)2
＝(5＋2)2＋(5－2)2
＝5＋2＋5－2
＝25.
答案：25
拓展提升
问题：nan＝a与(na)n＝a(n＞1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．
活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．
通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．
解：(1)(na)n＝a(n＞1，n∈N)．
如果xn＝a(n＞1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝na一定是它的一个n次方根，所以(na)n＝a恒成立．
例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.
(2)nan＝a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.
当n为奇数时，a∈R，nan＝a恒成立．
例如：525＝2，5(－2)5＝－2.
当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么nan＝|a|＝－a，如(－3)2＝32＝3，
即(na)n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，nan＝a(n＞1，n∈N)是有条件的．
点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．
课堂小结
学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．
1．如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．
(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．
(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．
(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．
2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a<0.
作业
课本习题2.1A组 1.
补充作业：
1．化简下列各式：
(1)681；(2)15－32；(3)6a2b4.
解：(1)681＝634＝332＝39；
(2)15－32＝－1525＝－32；
(3)6a2b4＝6(|a|b2)2＝3|a|b2.
2．若5＜a＜8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．
解析：因为5＜a＜8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.
答案：2a－13
3．5＋26＋5－26＝__________.
解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，
不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋2.
同理5－26＝(3－2)2＝3－2.
所以5＋26＋5－26＝23.
答案：23
设计感想
学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．
第2课时
作者：郝云静
导入新课
思路1．碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．
思路2．同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)整数指数幂的运算性质是什么？
(2)观察以下式子，并总结出规律：a＞0 ，
① ；
②a8＝(a4)2＝a4＝ ，；
③4a12＝4(a3)4＝a3＝ ；
④2a10＝2(a5)2＝a5＝ .
(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？
， ， ， (x>0，m，n∈N*，且n>1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
(5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an＝aaa…a，a0＝1(a≠0)；00无意义；
a－n＝1an(a≠0)；aman＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn.
(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①5a10＝ ，②a8＝ ，③4a12＝ ，④2a10＝ 结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变．
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．
(3)利用(2)的规律，453＝ ，375＝ ，5a7＝ ，nxm＝ .
(4)53的四次方根是 ，75的三次方根是 ，a7的五次方根是 ，xm的n次方根是 .
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．
(5)如果a＞0，那么am的n次方根可表示为nam＝ ，即 ＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是 ＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
提出问题
(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的？
(2)你能得出负分数指数幂的意义吗？
(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？
(4)综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
(5)分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？
(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回想初中学习的情形，结合 自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．
讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a－n＝1an(a≠0)，n∈N*.
(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．
规定：正数的负分数指数幂的意义是 ＝ ＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(4)教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：
正数的正分数指数幂的意义是 ＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是 ＝ ＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(5)若没有a＞0这个条件会怎样呢？
如 ＝3－1＝－1， ＝6(－1)2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a＞0的条件，比如式子3a2＝ ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．
(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．
应用示例
例1 求值：(1) ；(2) ；(3)12－5；(4) .
活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．
解：(1) ＝22＝4；
(2) ＝5－1＝15；
(3)12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32；
(4) ＝23－3＝278.
点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如 ＝382＝364＝4.
例2 用分数指数幂的形式表示下列各式．
a3a；a23a2；a3a(a＞0)．
活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．
解：a3a＝a3 ＝ ；
a23a2＝a2 ＝ ；
a3a＝ .
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数 幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．
(1) ；
(2) .
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．
解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)] ＝4ab0＝4a；
(2) ＝m2n－3＝m2n3.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．
变式训练
求值：(1)333363；
(2)627m3125n64.
解：(1)333363＝ ＝32＝9；
(2)627m3125n64＝ ＝9m225n4＝925m2n－4.
例4 计算下列各式：
(1)(325－125)÷425；
(2)a2a3a2(a＞0)．
活动：先由学生观察以上两个式子的特 征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．
解：(1)原式＝
＝ ＝65－5；
(2)a2a3a2＝ ＝6a5.
知能训练
课本本节练习 1,2,3
【补充练习】
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．
1．(1)下列运算中，正确的是()
A．a2a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(a－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6
(2)下列各式①4(－4)2n，②4(－4)2n＋1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是()
A．①② B．①③ C．①②③④ D．①③④
(3)(34a6)2(43a6)2等于()
A．a B．a2 C．a3 D．a4
(4)把根式－25(a－b)－2改写成分数指数幂的形式为()
A． B．
C． D．
(5)化简 的结果是()
A．6a B．－a C．－9a D．9a
2．计算：(1) －－17－2＋ －3－1＋(2－1)0＝__________.
(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.
3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求 的值．
答案：1．(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2．(1)19 (2)8
3．解： .
因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.
又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－63.
所以原式＝ ＝12－6－63＝－33.
拓展提升
1．化简： .
活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：
x－1＝ －13＝ ；
x＋1＝ ＋13＝ ；
．
构建解题思路教师适时启发提示．
解：
＝
＝
＝
＝ .
点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，
＝a－b，
＝a± ＋b，
＝a±b.
2．已知 ，探究下列各式的值的求法．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) .
解：(1)将 ，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；
(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋ a－2＝47；
(3)由于 ，
所以有 ＝a＋a－1＋1＝8.
点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．
课堂小结
活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：
(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是 ＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是 ＝ ＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(4)说明两点：
①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用 ＝am来计算．
作业
课本习题2.1A组 2,4.
设计感想
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．
第3课时
作者：郑芳鸣
导入新课
思路1．同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．
思路2．同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？
(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？
2的过剩近似值
的近似值
1.5 11.180 339 89
1.42 9.829 635 328
1.415 9.750 851 808
1.414 3 9.739 872 62
1.414 22 9.738 618 643
1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 563 9.738 517 752
… …
的近似值
2的不足近似值
9.518 269 694 1.4
9.672 669 973 1.41
9.735 171 039 1.414
9.738 305 174 1.414 2
9.738 461 907 1.414 21
9.738 508 928 1.414 213
9.738 516 765 1.414 213 5
9.738 517 705 1.414 213 56
9.738 517 736 1.414 213 562
… …
(3)你能给上述思想起个名字吗？
(4)一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如 ，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？
(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向．
问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．
问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．
问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．
问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．
讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．
(2)第一个表：从大于2的方向逼近2时， 就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于 的方向逼近 .
第二个表：从小于2的方向逼近2时， 就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于 的方向逼近 .
从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面 从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于 的方向接近 ，而另一方面 从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于 的方向接近 ，可以说从两个方向无限地接近 ，即逼近 ，所以 是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示 的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是 一定是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜ ＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5.
充分表明 是一个实数．
(3)逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．
(4)根据(2)(3)我们可以推断 是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数．
(5)无理数指数幂的意义：
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．
也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．
提出问题
(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？
(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗？
活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳．
对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．
对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．
对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．
讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱．
(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s都是无理数)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是无理数)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r是无理数)．
(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂．
实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
应用示例
例1 利用函数计算器计算．(精确到0.001)
(1)0.32.1；(2)3.14－3；(3) ；(4) .
活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按＝，即可求得它的值；
对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号－键，再按3，最后按＝即可；
对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按＝即可；
对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按 键，再按3，最后按＝键．有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算．
学生可以相互交流，挖掘计算器的用途．
解：(1)0.32.1≈0.080；(2)3.14－3≈0.032；(3) ≈2.336；(4) ≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n＋1)位能否进位即可．
例2 求值或化简．
(1)a－4b23ab2(a＞0，b＞0)；
(2) (a＞0，b＞0)；
(3)5－26＋7－43－6－42.
活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2＋(2)2,22＋(3)2,22＋(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．
解：(1)a－4b23ab2＝ ＝3b46a11 .
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示．
(2)
＝
＝425a0b0＝425.
点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数．
(3)5－26＋7－43－6－42
＝(3－2)2＋(2－3)2－(2－2)2
＝3－2＋2－3－2＋2＝0.
点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用．
例3 已知 ，n∈N*，求(x＋1＋x2)n的值．
活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性， 与 具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．
＝ .
这时应看到1＋x2＝ ，
这样先算出1＋x2，再算出1＋x2，代入即可．
解：将 代入1＋x2，得1＋x2＝ ，
所以(x＋1＋x2)n＝
＝
＝ ＝5.
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．
知能训练
课本习题2.1A组 3.
利用投影仪投射下列补充练习：
1．化简： 的结果是()
A． B．
C． D．
解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．
因为 ，所以原式的分子分母同乘以 ．
依次类推，所以 .
答案：A
2．计算2790.5＋0.1－2＋ －3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.
解：原式＝
＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100.
3．计算a＋2a－1＋a－2a－1(a≥1)．
解：原式＝(a－1＋1)2＋(a－1－1)2＝a－1＋1＋|a－1－1|(a≥1)．
本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．
4．设a＞0， ，则(x＋1＋x2)n的值为__________．
解析：1＋x2＝ .
这样先算出1＋x2，再算出1＋x2，
将 代入1＋x2，得1＋x2＝ .
所以(x＋1＋x2)n＝
＝ ＝a.
答案：a
拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂 的意义．
活动：教师引导学生回顾无理数指数幂 的意义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算 的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．
解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．
3的过剩近似值
的过剩近似值
3的不足近似值
的不足近似值
1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585
1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183
1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342
1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849
1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2
1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923
1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838
1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045
… … … …
我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数
21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，
同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：
21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为 ，
即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜ ＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.
也就是说 是一个实数， ＝3.321 997 …也可以这样解释：
当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，23的近似值从大于 的方向逼近 ；
当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，23的近似值从小于 的方向逼近 .
所以 就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即 ≈3.321 997.
课堂小结
(1)无理指数幂的意义．
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数) 是一个确定的实数．
(2)实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
(3)逼近的思想，体会无限接近的含义．
作业
课本习题2.1 B组 2.
设计感想
无理数指数是指数概念的又一次扩充， 教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多作练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．
备课资料
【备用习题】
1．以下各式中成立且结果为最简根式的是()
A．a5a3a10a7＝10a4
B．3xy2(xy)2＝y3x2
C．a2bb3aab3＝8a7b15
D．(35－125)3＝5＋125125－235125
答案：B
2．对于a＞0，r，s∈Q，以下运算中正确的是()
A．aras＝ars B．(ar)s＝ars
C．abr＝arbs D．arbs＝(ab)r＋s
答案：B
3．式子x－2x－1＝x－2x－1成立当且仅当()
A．x－2x－1≥0 B．x≠1 C．x＜1 D．x≥2
解析：方法一：
要使式子x－2x－1＝x－2x－1成立，需x－1＞0，x－2≥0，即x≥2.
若x≥2，则式子x－2x－1＝x－2x－1成立．
故选D.
方法二：
对A，式子x－2x－1≥0连式子成立也保证不了，尤其x－2≤0，x－1＜0时式子不成立．
对B，x－1＜0时式子不成立．
对C，x＜1时x－1无意义．
对D正确．
答案：D
4．化简b－(2b－1)(1＜b＜2)．
解：b－(2b－1)＝(b－1)2＝b－1(1＜b＜2)．
5．计算32＋5＋32－5.
解：令x＝32＋5＋32－5，
两边立方得x3＝2＋5＋2－5＋332＋532－5(32＋5＋32－5)，即x3＝4－3x，x3＋3x－4＝0.∴(x－1)(x2＋x＋4)＝0.
∵x2＋x＋4＝x＋122＋154＞0，∴x－1＝0，即x＝1.
∴32＋5＋32－5＝1.
高中数学指数与指数幂的运算教案范文
教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。小编准备了以下内容，供大家参考!
课题：指数与指数幂的运算
课型：新授课
教学方法：讲授法与探究法
教学媒体选择：多媒体教学
指数与指数幂的运算——学习者分析：
1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础.
2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入.
指数与指数幂的运算——学习任务分析：
1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值.
2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.
3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算.
指数与指数幂的运算——教学目标阐明：
1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.
2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力.
3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.
教学流程图：
指数与指数幂的运算——教学过程设计：
一．新课引入：
（一）本章知识结构介绍
（二）问题引入
1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量p与死亡年数t之间的关系：
（1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量p的值为
（2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量p的值为
（3）当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量p的值为
（4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量p的值为
2.回顾整数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质：
3.思考：这些运算性质对分数指数幂是否适用呢？
【师】这就是我们今天所要学习的内容《指数与指数幂的运算》
【板书】2.1.1指数与指数幂的运算
二．根式的概念：
【师】下面我们来看几个简单的例子.口述平方根，立方根的概念引导学生总结n次方根的概念..
【板书】平方根，立方根，n次方根的符号，并举一些简单的方根运算，以便学生观察总结.
【师】现在我们请同学来总结n次方根的概念..
1.根式的概念
【板书】概念
即如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根.
【师】通过刚才所举的例子不难看出n的奇偶以及a的正负都会影响a的n次方根，下面我们来共同完成这样一个表格.
【板书】表格
【师】通过这个表格，我们知道负数没有偶次方根.那么0的n次方根是什么？
【学生】0的n次方根是0.
【师】现在我们来对这个符号作一说明.
例1.求下列各式的值
【注】本题较为简单，由学生口答即可，此处过程省略.
三．n次方根的性质
【注】对于1提问学生a的取值范围，让学生思考便能得出结论.
【注】对于2，少举几个例子让学生观察，并起来说他们的结论.
1.n次方根的性质
四．分数指数幂
【师】这两个根式可以写成分数指数幂的形式，是因为根指数能整除被开方数的指数，那么请大家思考下面的问题.
思考：根指数不能整除被开方数的指数时还能写成分数指数幂的形式吗
【师】如果成立那么它的意义是什么，我们有这样的规定.
（一）分数指数幂的意义：
1.我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
2.我们规定正数的负分数指数幂的意义是：
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（二）指数幂运算性质的推广：
五．例题
例2.求值
【注】此处例2让学生上黑板做，例3待学生完成后老师在黑板板演,例4让学生黑板上做，然后纠正错误.
六．课堂小结
1.根式的定义；
2.n次方根的性质；
3.分数指数幂.
七．课后作业
p59习题2.1A组1.2.4.
八．课后反思
1.在第一节课的时候没有把重要的内容写在黑板上，而且运算性质中a，r，s的条件没有给出，另外课件中有一处错误.第二节课时改正了第一节课的错误.
2.有许多问题应让学生回答，不能自问自答.根式性质的思考没有讲清楚，应该给学生更多的时间来回答和思考问题，与之互动太少.
3.讲课过程中还有很多细节处理不好，并且讲课声音较小，没有起伏.
4.课前的章节知识结构很好，引入简单到位，亮点是概念后的表格.
高中数学教案模板范文
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各位专家、评委：
下午好！
我的抽签序号是＿＿＿＿，今天我说课的课题是《＿＿＿＿＿＿＿》第＿＿课时。
我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正。
一、教材分析
（一）地位与作用
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
（二）学情分析
（1）学生已熟练掌握＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（2）学生的知识经验较为丰富，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力。
（3）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（4） 学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
二、目标分析
新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该以获得知识与技能的过程，同时成为学会学习和正确价值观。这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据＿＿＿＿在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：
（一）教学目标
（1）知识与技能
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；。
（2）过程与方法
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度与价值观
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
（二）重点难点
本节课的教学重点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，教学难点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
三、教法、学法分析
（一）教法
基于本节课的内容特点和高二学生的年龄特征，按照临沂市高中数学“三五四”课堂教学策略，采用探究――体验教学法为主来完成教学，为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
（二）学法
在学法上我重视了：
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、教学过程分析
（一）教学过程设计
教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体。教师的“导”也就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生，学生就是接受任务，探究问题、完成任务。如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学。
（1）创设情境，提出问题。
新课标指出：“应该让学生在具体生动的情境中学习数学”。在本节课的教学中，从我们熟悉的生活情境中提出问题，问题的设计改变了传统目的明确的设计方式，给学生的思考空间，充分体现学生主体地位。
（2）引导探究，建构概念。
数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．
（3）自我尝试，初步应用。
有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此。让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．
（4）当堂训练，巩固深化。
通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识识的再次深化。
（5）小结归纳，回顾反思。
小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。我设计了三个问题：（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你的体验是什么？（3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？
（二）作业设计
作业分为必做题和选做题，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与，注重知识的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
我设计了以下作业：
（1）必做题
（2）选做题
（三）板书设计
板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。
五、评价分析
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过巩固练习考查学生对＿＿＿＿是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。
以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指正。谢谢！
高一数学教案：对数函数
教学目标
1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用.
(1) 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象.
(2) 能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题.
2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力.
3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性.
教学建议
教材分析
(1) 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础.
(2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点.
(3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点.
教法建议
(1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数 的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质.
(2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣.
人教版高中数学教案三篇
讲授新课前，做一份完美的教案，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性，小编准备了以下内容，希望对你有帮助!
篇一
教学目标
1。使学生掌握的概念，图象和性质。
（1）能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。
（2）能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。
（3） 能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如 的图象。
2。 通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3。通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。
教学建议
教材分析
（1） 是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。
（2） 本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数 在 和 时，函数值变化情况的区分。
（3）是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。
教法建议
（1）关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是 的样子，不能有一点差异，诸如 ， 等都不是。
（2）对底数 的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。
关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。
教学设计示例
课题
教学目标
1。 理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。
2。 通过的图象和性质的学习，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。
3。 通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣。
教学重点和难点
重点是理解的定义，把握图象和性质。
难点是认识底数对函数值影响的认识。
教学用具
投影仪
教学方法
启发讨论研究式
教学过程
一。 引入新课
我们前面学习了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数———————。
1。6。（板书）
这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题：
问题1：某种细胞*时，由1个*成2个，2个*成4个，……一个这样的细胞* 次后，得到的细胞*的个数 与 之间，构成一个函数关系，能写出 与 之间的函数关系式吗？
由学生回答： 与 之间的关系式，可以表示为 。
问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了 次后绳子剩余的长度为 米，试写出 与 之间的函数关系。
由学生回答： 。
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量 均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。
一。 的概念（板书）
1。定义：形如 的函数称为。（板书）
教师在给出定义之后再对定义作几点说明。
2。几点说明 （板书）
（1） 关于对 的规定：
教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？（若学生感到有困难，可将问题分解为若 会有什么问题？如 ，此时 ， 等在实数范围内相应的函数值不存在。
若 对于 都无意义，若 则 无论 取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定 且 。
（2）关于的定义域 （板书）
教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时， 也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为 。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。
（3）关于是否是的判断（板书）
刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。
（1） ， （2） ， （3）
（4） ， （5） 。
学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有（1）和（3）是，其中（3） 可以写成 ，也是指数图象。
最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。
3。归纳性质
作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。
函数
1。定义域 ：
2。值域：
3。奇偶性 ：既不是奇函数也不是偶函数
4。截距：在 轴上没有，在 轴上为1。
对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。（确定图象存在的大致位置）对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。（图象位于 轴上方，且与 轴不相交。）
在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故 的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。
此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势（当 越小，图象越靠近 轴， 越大，图象上升的越快），并连出光滑曲线。
二。图象与性质（板书）
1。图象的画法：性质指导下的列表描点法。
2。草图：
当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个？它是否具有代表性？（教师可提示底数的条件是且 ，取值可分为两段）让学生明白需再画第二个，不妨取 为例。
此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是的方法，而图象变换的方法更为简单。即 = 与 图象之间关于 轴对称，而此时 的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到 的图象。
最后问学生是否需要再画。（可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如 的图象一起比较，再找共性）
由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下：
以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。
填好后，让学生仿照此例再列一个 的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。
3。性质。
（1）无论 为何值， 都有定义域为 ，值域为 ，都过点 。
（2） 时， 在定义域内为增函数， 时， 为减函数。
（3） 时， ， 时， 。
总结之后，特别提醒学生记住函数的图象，有了图，从图中就可以能读出性质。
三。简单应用 （板书）
1。利用单调性比大小。 （板书）
一类函数研究完它的概念，图象和性质后，最重要的是利用它解决一些简单的问题。首先我们来看下面的问题。
例1。 比较下列各组数的大小
（1） 与 ; （2） 与 ;
（3） 与1 。（板书）
首先让学生观察两个数的特点，有什么相同？由学生指出它们底数相同，指数不同。再追问根据这个特点，用什么方法来比较它们的大小呢？让学生联想，提出构造函数的方法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用它的单调性比较大小。然后以第（1）题为例，给出解答过程。
解： 在 上是增函数，且
< 。（板书）
教师最后再强调过程必须写清三句话：
（1） 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性。
（2） 自变量的大小比较。
（3） 函数值的大小比较。
后两个题的过程略。要求学生仿照第（1）题叙述过程。
例2。比较下列各组数的大小
（1） 与 ; （2） 与 ;
（3） 与 。（板书）
先让学生观察例2中各组数与例1中的区别，再思考解决的方法。引导学生发现对（1）来说 可以写成 ，这样就可以转化成同底的问题，再用例1的方法解决，对（2）来说 可以写成 ，也可转化成同底的，而（3）前面的方法就不适用了，考虑新的转化方法，由学生思考解决。（教师可提示学生的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用）
最后由学生说出 >1，<1，>。
解决后由教师小结比较大小的方法
（1） 构造函数的方法： 数的特征是同底不同指（包括可转化为同底的）
（2） 搭桥比较法： 用特殊的数1或0。
三。巩固练习
练习：比较下列各组数的大小（板书）
（1） 与 （2） 与 ;
（3） 与 ; （4） 与 。解答过程略
四。小结
1。的概念
2。的图象和性质
3。简单应用
五 。板书设计
篇二
教学目标
1.掌握等差数列前 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）了解等差数列前 项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；
（2）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；
（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.
教学建议
（1）知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．
（2）重点、难点分析
教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点，难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示）
问题就是（板书）“ ”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？
二.讲解新课
（板书）等差数列前 项和公式
1.公式推导（板书）
问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得
，有以下等式
，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二：
上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得
，
于是有： .这就是倒序相加法.
思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .
于是得到了两个公式（投影片）： 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.
例1.求和：（1） ；
（2） （结果用 表示）
解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900？
本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路；
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
篇三
1。5 （1）充分条件与必要条件
一、教学目标设计
通过实例理解充分条件、必要条件的意义。
能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性。
二、教学重点及难点
充分条件、必要条件的判断;
充分条件、必要条件的判断方法。
三、教学流程设计
四、教学过程设计
一、概念引入
早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话有之则必然，无之则未必不然，是为大故无之则必不然，有之则未必然，是为小故。
今天，在日常生活中，常听人说：这充分说明，没有这个必要等，在数学中，也讲充分和必要，这节课，我们就来学习教材第一章第五节充分条件与必要条件。
二、概念形成
1、 首先请同学们判断下列命题的真假
（1）若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
（2）若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。
（3）若某个整数能够被4整除，则这个整数必是偶数。
（4） 若ab=0，则a=0。
解答：命题（2）、（3）、（4）为真。命题（4）为假;
2、请同学用推断符号写出上述命题。
解答：（1）两三角形全等 两三角形的面积相等。
（2） 三角形有两个内角相等 三角形是等腰三角形。
（3） 某个整数能够被4整除则这个整数必是偶数;
（4）ab=0 a=0。
3、充分条件与必要条件
继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。
若某个整数能够被4整除则这个整数必是偶数中，我们称某个整数能够被4整除是这个整数必是偶数的充分条件，可以解释为：只要某个整数能够被4整除成立，这个整数必是偶数就一定成立;而称这个整数必是偶数是某个整数能够被4整除的必要条件，可以解释成如果某个整数能够被4整除 成立，就必须要这个整数必是偶数成立
充分条件：一般地，用、分别表示两件事，如果这件事成立，可以推出这件事也成立，即，那么叫做的充分条件。[说明]：①可以解释为：为了使成立，具备条件就足够了。②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。③结合实例解释为： x = 0 是 xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0。）
必要条件：如果，那么叫做的必要条件。
[说明]：①可以解释为若，则叫做的必要条件，是的充分条件。②无它不行，有它也不一定行③结合实例解释为：如 xy = 0是 x = 0的必要条件，若xy0，则一定有 x若xy = 0也不一定有 x = 0。
回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。
（1）中：两三角形全等是两三角形的面积相等的充分条件;两三角形的面积相等是两三角形全等的必要条件。
（2）中：三角形有两个内角相等是三角形是等腰三角形的充分条件;三角形是等腰三角形是三角形有两个内角相等的必要条件。
4、拓广引申
把命题：若某个整数能够被4整除，则这个整数必是偶数中的条件与结论分别记作与，那么，原命题与逆命题的真假同与之间有什么关系呢？
关系可分为四类：
（1）充分不必要条件，即，而
（2）必要不充分条件，即，而
（3）既充分又必要条件，即，又有
（4）既不充分也不必要条件，即，又有。
三、典型例题（概念运用）
例1：（1）已知四边形ABCD是凸四边形，那么AC=BD是四边形ABCD是矩形的什么条件？为什么？（课本例题p22例4）
（2） 是 的什么条件。
（3）a+b是1，b什么条件。
解：（1）AC=BD是四边形ABCD是矩形的必要不充分条件。
（2）充分不必要条件。
（3）必要不充分条件。
[说明]①如果把命题条件与结论分别记作与，则既要对进行判断，又要对进行判断。②要否定条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可。
例2：判断下列电路图中p与q的充要关系。其中p：开关闭合;q：
灯亮。（补充例题）
[说明]①图中含有两个开关时，p表示其中一个闭合，另一个情况不确定。②加强学科之间的横向沟通，通过图示，深化概念认识。
例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题）
（1）头发长，见识短。 （2）骄兵必败。
（3）有志者事竟成。 （4）春回大地，万物复苏。
（5）不入虎穴、焉得虎子 （6）四肢发达，头脑简单
[说明]通过本例，充分调动学生生活经验，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情。
四、巩固练习
1、课本p/22练习1。5（1）
2：填表（补充）
p q p是q的
什么条件 q是p的
什么条件
两个角相等 两个角是对顶角
内错角相等 两直线平行
四边形对角线相等 四边形是平行边形
a=b ac=bc
[说明]通过练习，及时巩固所学新知，反馈教学效果。
五、课堂小结
1、本节课主要研究的内容：
推断符号，
充分条件的意义 命题充分性、必要性的判断。
必要条件的意义
2、 充分条件、必要条件判别步骤：
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
3、充分条件、必要条件判别技巧：
① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
六、课后作业
书面作业：课本p/24习题1。51，2，3。
五、教学设计说明
1、充分条件、必要条件以及下节课中充要条件与集合的概念一样涉及到数学的各个分支，用推出关系的形式给出它的定义，对高一学生只要求知道它的意义，并能判断简单的充分条件与必要条件。
2、由于充要条件与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入充分条件的概念，进而引入必要条件的概念。
3、教材中对充分条件、必要条件的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识充分条件的概念，从互为逆否命题的等价性来引出必要条件的概念。
4、由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键。教学中始终要注意以学生为主，结合相关学科及学生生活经验让学生在自我思考、相互交流中去给概念下定义，去体会概念的本质属性。
高一数学教案设计：对数函数
教学目标
1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用.
(1) 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象.
(2) 能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题.
2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力.
3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性.
教学建议
教材分析
(1) 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础.
(2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点.
(3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点.
教法建议
(1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数 的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质.
(2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣.
高一数学教案范文：对数函数教案
小编为网友整理的《高一数学教案范文：对数函数教案》，希望对大家有所帮助！
教学目标：①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复
合函数的定义域、值 域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高
解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：
⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1 比较数的大小
例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)
⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ
师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征?
生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小?
生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0
调递减，所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时，函数y=logax单调递
增，所以loga5.1
板书：
解：Ⅰ)当0
∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9
Ⅱ)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，
∵5.1<5.9 ∴loga5.1
师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征?
生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小?
生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0;lnЛ>1，
log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函
数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数
函数图象的位置关系来比大小。
2 函数的定义域, 值 域及单调性。
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